A是PB与平面ABCD所成的角,故∠PBA=45°,所以PA=1,则平面PFD的一个法向量为m=,Р则cos〈,m〉===,Р故所求二面角A-PD-F的余弦值为.Р6.(满分13分)平面图形ABB1A1C1C如图①所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=,A1B1=A1C1=,现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠,使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直,再分别连接A1A,A1B,A1C,得到如图②所示的空间图形.对此空间图形解答下列问题.Р(1)证明:AA1⊥BC;Р(2)求AA1的长;Р(3)求二面角ABCA1的余弦值.Р解:法一:(向量法)(1)证明:取BC,B1C1的中点分别为D和D1,连接A1D1,DD1,AD.由平面BB1C1C为矩形知,DD1⊥B1C1.因为平面BB1C1C⊥平面A1B1C1,Р所以DD1⊥平面A1B1C1.Р又由A1B1=A1C1知,A1D1⊥B1C1.Р故以D1为坐标原点,可建立如图所示的空间直角坐标系D1-xyz.Р由题设,可得A1D1=2,AD=1.Р由以上可知AD⊥平面BB1C1C,A1D1⊥平面BB1C1C,于是AD∥A1D1.Р所以A(0,-1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(-1,0,4),D(0,0,4).故(=(0,3,-4),=(-2,0,0),Р·=0,因此AA1⊥,即AA1⊥BC.Р(2)因为=(0,3,-4),所以||=5,即AA1=5.Р(3)连接A1D.Р由BC⊥AD,BC⊥AA1,可知BC⊥平面A1AD,BC⊥A1D,所以∠ADA1为二面角A-BC-A1的平面角.Р因为Р即二面角A-BC-A1的余弦值为-.Р法二:(综合法)(1)取BC,B1C1的中点分别为D和D1,连接A1D1,DD1,AD,A1D.Р由条件可知,BC⊥AD,B1C1⊥A1D1.
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