(x≥0)单调递减,所以H(x)=x-sin x-x3≤H(0)=0,即x-sin x-x3≤0(x≥0),Р即x-sin x≤x3(x≥0).Р所以,当a取(1)中的最小值时,g(x)-f(x)≤x3.Р18.已知函数f(x)=ln x.Р(1)设a=1,讨论f(x)的单调性;Р(2)若对任意x∈(0,1),f(x)<-2,求实数a的取值范围.Р解:(1)因为a=1,所以f(x)=ln x,则函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).Рf′(x)=+=.Р设g(x)=2ln x+,则g′(x)=.Р因为x>0,g′(x)≤0,所以g(x)在(0,+∞)上是减函数,又g(1)=0,于是当x∈(0,1)时,g(x)>0,f′(x)>0;Р当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0.Р所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).Р(2)由题可知a≠0,因为x∈(0,1),所以ln x<0.Р①当a<0时,x∈(0,1),f(x)>0,不合题意;Р②当a>0时,x∈(0,1),由f(x)<-2,可得ln x+<0.Р设h(x)=ln x+,则当x∈(0,1),a>0时,h(x)<0,h′(x)=.Р设m(x)=x2+(2-4a)x+1,方程m(x)=0的判别式РΔ=16a(a-1).Р若a∈(0,1],则Δ≤0,m(x)≥0,h′(x)≥0,h(x)在(0,1)上是增函数,Р又h(1)=0,所以当x∈(0,1)时,h(x)<0.Р若a∈(1,+∞),则Δ>0,m(0)=1>0,m(1)=4(1-a)<0,Р所以存在x0∈(0,1),使得m(x0)=0,对任意x∈(x0,1),Рm(x)<0,h′(x)<0,h(x)在(x0,1)上是减函数,Р又h(1)=0,所以x∈(x0,1)时,h(x)>0,不合题意.Р综上,实数a的取值范围是(0,1].
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