Р2)圆-圆切点的计算。若在路径中出现下图8所示切线情形,仍记,分别为顶点圆上的切点坐标,则切点坐标可由下列关系式联立求得:Р 共线: (为直线斜率,待定) ①Р在上: ②Р在上: ③Р 是的切点,故,从而:Р ④Р是的切点,故,从而:Р ⑤Р联立①②③④⑤可解出:。Р图8 圆-圆切线图Р注:(1)上述公式②③中,对几何体的顶点圆而言,,但在处理如图1中障碍物2时,可取其中某一半径为,计算切点同此方法。Р(2)机器人移动路径中OB,OC,AB,BC等中间连接点两圆切点统一都按此法计算。Р3)距离的计算。问题要求整个移动的最短路径,而行驶路线只有一些线段和一些圆弧线组成,因而在曲线的计算中分情况逐段计算,求和,可最终求得某一可行路径的总距离。Р直线段距离的计算:设,为线段上两点,则的距离为:Р (3)Р圆弧线段的计算:设,为同一圆周一段弧的两个端点,若已知圆的圆心Р,半径为,则Р (4)Р其中为圆弧所对应的圆心角,由以下公式计算:Р (5)Р这里按余弦公式获得,。Р 2、最短移动时间的计算Р注意到:时间=路程/速度,由于机器人直线行走的最大速度为个单位/秒。机器人转弯时,最大转弯速度为Р,其中是转弯半径。(6)Р如果超过该速度,机器人将发生侧翻,无法完成行走。若假设机器人在运动过程中匀速运动,这样不再考虑运动加减速过程,由于,因此要获得最短移动时间,则应让尽可能大,接近于,由公式(6)可知,运动过程中经过圆弧的转弯半径越大,速度越大,于是为节省时间,需要增大转弯半径,然而,按常规:,若在精度要求下,近似达到,则认为速度不在增大,此时应考虑获得最短路程,因为圆弧越大,可能会使得行走路程变大。综合考虑上述因素,建立下列非线性优化模型:Р (7) Р上述模型中,,下限10为了躲避障碍物应满足的最低要求,那么最大值55如何获得呢?其基本原理如下图示:(右图只要三点,,共线,不难理解)
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