,我们先来证明一个猜想:Р猜想二:如果一个圆环可以绕着环上一个定点转动,那么过圆环外两定点连接一根绳子,并以该圆环为支撑拉紧绳子,达到平衡状态时,圆心和该顶点以及两条切线的延长线的交点共线。Р Р图5.31Р证明猜想:Р如图4.31所示,E点就是圆环上的一个顶点,ACDB就是拉紧的绳子,就是切线AC和BD的延长线的交点,证明、E、三点共线。Р我们可以用力学的知识进行证明,因为是拉紧的绳子,所以两边的绳子拉力相等,设为,它们的合力设为,定点对圆环的作用力设为。Р那么由几何学的知识我们可以知道一定和共线,而又由力的平衡条件可知:Р=-Р即和共线。Р综上所述、和三点一定共线。Р二、有了以上这个定理我们可以建立以下模型:Р如图4.32,要求求出机器人从A绕过障碍物经过M点到达目标点B的最短路径Р,我们采用以下方法:Р用一根钉子使一个圆环定在M点,使这个圆环能够绕M点转动。然后连接A和B的绳子并以这些转弯处的圆弧为支撑(这里转弯处圆弧的半径均按照最小转弯半径来计算),拉紧绳子,那么绳子的长度就是A到B的最短距离。我们可以把路径图抽象为以下的几何图形。下面我们对这段路径求解:Р图5.32Р如图,A是起点,B是终点,和是两个固定的圆,是一个可以绕M(p,q)点转动的圆环,三个圆的半径均为r,C、D、E、F、G、H均为切点。a、b、c、e,f分别是A、、A、A、的长度。A、B、、均是已知点,是未知点。那么最短路径就可以表示为:РL=|AC|+CD+|DE|+EF+|FG|+GH+|HB|Р因为点的坐标未知,所以我们就不能用模型一中的线圆结构对其进行求解。故得先求出点的坐标。设坐标为(m,n),、、、、分别为(=1、2、3、4、5),、、Р分别为、、。这样便有以下关系:Р在中:Р在中:Р在中:Р在中:Р则:Р又因为一定会在的角平分线上,所以满足:Р我们采用向量的形式来求,易知的一个方向向量:
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