有关函数对称性的几个重要结论

的反函数是:y=2+g(x),∴f(x—1)=2+g(x),?∴f(5—1)=2+g(5)=2001,故f(4)=2001,应选(C)o例3,设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)=f(1-x),当一1≤x≤0吋,f(x)=—12x,则f(8.6)=()。(第八届希望杯高二第一试题)解:Tf(x)是定义在R上的偶函数,∴x=0是y=f(x)的对称轴;又If(1+x)=f(1-x),∴x=1也是y=f(x)的对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数,∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3。例4,函数y=sin(2x+52π)图像的一条对称轴的方程是()。(92全国高考理)A.x=—π2B.x=—π4C.x=π8D・x=54π解:函数y=sin(2x+52π)图像的所有对称轴的方程是2x+52π=kπ+π2o∴x=kπ—π,显然取k=l吋的对称轴方程是x=—π,故22选(A)o例5,设f(x)是定义在R上的奇函数,Kf(x+2)=—f(x),当0≤x≤l时,f(x)=x,贝!Jf(7.5)=()。A・0.5B.-0.5C・1.5D・一1.5解:Tynf(x)是定义在R上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;又Tf(x+2)=—f(x)=f(—x),即f(1+x)=f(1—x),∴直线x=l是y=f(x)的对称轴,故y=f(x)是周期为2的周期函数。∴f(7.5)=f(8—0.5)=f(—0.5)=—f(0.5)=—0.5,故选(B)o函数对称性的这几个重要结论在数学学习中应用非常广泛,本文希望能够起到抛砖引玉的作用。