偏微分方程期末考试试题(07)

黑龙江科技学院考试试题第一套Р课程名称:偏微分方程数值解法课程编号:24014110 适用专业(班级):数学共1页Р命题人:潘晓丽教研室主任: 第1页Р Р一、(15分)求方程的通解。Р二、(10分)解固有值问题Р三、(10分)写出二阶线性偏微分方程的分类和标准式。Р四、(15分)求半无界弦的自由振动问题Р五、(15分)计算积分为偶数。Р六、(15分)将函数按勒让德多项式展开。Р七、(10分)截面为矩形的无穷长棱柱,内部无热源,两相对侧面与外界绝热,另两相对侧面温度分别保持零度和与高度无关的稳恒分布,求此棱柱的温度分布。Р八、(10分)写出Legendre多项式的各种表示。Р黑龙江科技学院考试试题答案第一套Р课程名称:偏微分方程数值解法课程编号:24014110 适用专业(班级):数学共1页Р命题人:潘晓丽教研室主任: 第1页Р 一、解:首先判别方程的类型,Р即此方程在整个全平面上都是抛物型的。Р特征方程为:Р只有一族特征曲线,Р有Р做变量替换,令,其中,Р由链式法则Р代入原方程得Р,因为,有Р令,则Р有Р即Р通解Р二、解:解:首先将方程化成S-L型方程,方程两端同时乘以,有Р此方程为S-L型方程,所以,又因为两端出现的是第一类边界条件,所以无零固有值。Р设,Р方程的特征方程为,有Р当时,方程通解为Р 而,得Р当时,,方程通解为Р 而,得Р当时,方程通解为Р,Р得固有值为,Р 相应的固有函数为Р三、解: ……………………….5分Р ……………………….10分Р ……………………….15分Р四、解:作辅助函数Р由达朗贝尔公式得Р五、解:Р Р Р因为为偶数,所以,为奇数,有Р故Р六、解:解:,计算系数有Р Р所以Р七、解Р八、