三1。Р当..0时，设.一2 .1 .0，方程的通解为РРy x 二 Acos"x Bsin "xР.3分РРР将此式代入边界条件，并消去公因子?■，得РAs in Jl Bcos"l 二 0 「Asin Jl Bcos"l =0РР为使A,B不全为0,必须系数行列式РsinР-sin JlРCOS』РcosLIР.7分РРРРР把Jn代入（1）有Рa . n兀 f?n兀 小РAsi n Bcos 0Р2РB 二-РA?n兀Р这个方程的一个非零解是РA = co —，Р2РР与'n相应固有函数为Рyn x = cos cos sin sinР2 2l?2 2lРn 二 x lР二 cos —Р2lР.10分Р八、Sturm-Liouville 定理：若 k x ,q x , ：〔x 满足：在〔a,b 1 上 k x , k' x x 连续;Р当x三ia,b时，k x ]，0,「x ] >0, q x _0 ,而a,b至多是k x及「x的一级零点；q xР在a, b上连续，而在端点至多有一级极点。则?S-L固有值问题Рd k x 當—q x y ' x y = 0, a ： x ： bР两端点a,b加五种边界条件之任一Р<dx]Р.2分Р的固有值和固有函数有下列重要性质：Р1、可数性:存在可数无穷多个固有值 川/…虫/…‘，lim 'n=；3。与每一个Рn—Р.4分Р固有值相应的线性无关的固有函数有且只有一个。Р2、非负性：'n -0，有零固有值的充要条件是：q x =0，且a,b两端都不取第一、РРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРР3、正交性：设皿='n是任意两个不同固有值，则相应的固有函数ym X和％ X在Рl.a,b上带权lx正交，即有РbР.8分Рa ' x ym X yn x dx = 0Р4、固有函数系:yn x ［是完备的。?.10分
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