使其成为有规律的时间序列数据,对其作一次累加生成运算,即令从而得到新的生成数列,,称为GM(1,1)模型的原始形式。新的生成数列一般近似地服从指数规律.则生成的离散形式的微分方程具体的形式为即表示变量对于时间的一阶微分方程是连续的.求解上述微分方程,解为当=1时,,即,则可根据上述公式得到离散形式微分方程的具体形式为?其中,项中的为的背景值,也称初始值;,是待识别的灰色参数,为发展系数,反映的发展趋势;为灰色作用量,反映数据间的变化关系.按白化导数定义有显然,当时间密化值定义为1时,当时,则上式可记为这表明是一次累减生成的,因此该式可以改写为当足够小时,变量从到是不会出现突变的,所以取与的平均值作为当足够小时的背景值,即(紧邻均值(MEAN)生成序列)将其值带入式子,整理得(GM(1,1)模型的均值形式)由其离散形式可得到如下矩阵:令称为数据向量,为数据矩阵,为参数向量.则上式可简化为线性模型:由最小二乘估计方法得上式即为GM(1,1)参数的矩阵辨识算式,式中事实上是数据矩阵的广义逆矩阵.将求得的,值代入微分方程的解式,则其中,上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式,将它离散化得对序列再作累减生成可进行预测.即上式便是GM(1,1)模型的预测的具体计算式.2.3GM(1,1)模型的检验GM(1,1)模型的检验包括残差检验、关联度检验、后验差检验三种形式.每种检验对应不同功能:残差检验属于算术检验,对模型值和实际值的误差进行逐点检验;关联度检验属于几何检验范围,通过考察模型曲线与建模序列曲线的几何相似程度进行检验,关联度越大模型越好;后验差检验属于统计检验,对残差分布的统计特性进行检验,衡量灰色模型的精度.残差检验残差大小检验,即对模型值和实际值的残差进行逐点检验.设模拟值的残差序列为,则令为残差相对值,即残差百分比为令为平均残差,.一般要求,最好是,符合要求.关联度检验
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