设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则有fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0。定理2设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下:(1)AC-B2>0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值;(2)AC-B2<0时没有极值;(3)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值,需另讨论。条件极值拉格朗日自变量有附加条件的极值称为条件极值。在求解具有等式约束条件的条件极值问题时,一般并不是从约束等式解出一个变量,再代入目标函数,因为从约束等式解出一个变量往往并不简单,反而相当麻烦,因此,我们一般使用所谓的拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法要找条件极值,先做拉格朗日函数,其中k为参数,求其对x与y的一阶偏导数后可得由这方程组解出x,y及k,这样得到的(x,y)就是函数f(x,y)在附加条件下的可能极值点。举例一个限制条件求极值的题——1、试求底边平行于椭圆的长轴的内接等腰三角形面积的最大值。解:将椭圆化成标准方程,有如图所示三角顶点为A(0,2),另外两顶点和,此处。图于是的面积为限制条件为令,则由解出(3,-1)是惟一驻点,也是S最大值点,最大值为一个多元函数微分学几何应用的题——2、求曲线,在点处的切线方程。解:选为参数,把写成于是,切向量为在给定点处所求切线方程为写着写着就写了这么多字了。老是说写不够字数、写不够字数,最终没想的写了这么多了……我总是觉得学得不错随便写写就能写的很好。但是现在觉得我再写下去就真是在单纯凑字数了。看看平时上课时老师不用看书也可以侃侃而谈的样子,就知道我们还差的远了……
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