直线的参数方程及其应用举例

求|F2A|·|F2B|的最大值.解:由椭圆方程知=2,b=,c=1,F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的参数方程为(t为参数)代入椭圆方程整理得(3+sin2)t2-6tcos-9=0,Δ=36cos2+36(3+sin2)>0此方程的解为t1、t2,分别为A、B两点对应的参数,由韦达定理t1+t2=t1t2=根据参数t的几何意义,t1、t2分别为过点F1的直线和椭圆的两个交点A,B所对应的参数值,|F1A|=|t1||F1B|=|t2||AB|=∣t2-t1∣==|F1A|·|F1B|=|t1|·|t2|=|t1t2|由椭圆的第一定义|F1A|+|F2A|=2=4,|F1B|+|F2B|=2=4|F2A|·|F2B|=(4-|F1A|)(4-|F1B|)=16-4|AB|+|F1A|·|F1B|=16-4∣t2-t1∣+|t1t2|=16-4+=16-当sin2=1时,|F2A|·|F2B|有最大值点拨:求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积,利用直线的参数方程解题,此题中两定点F1(0,0),F2(2,0),显然F1坐标简单,因此选择过F1的直线的参数方程,利用椭圆的定义将|F2A|·|F2B|转化为|F1A|·|F1B|.方法总结:利用直线的参数方程(t为参数),给研究直线与圆锥曲线C:F()=0的位置关系提供了简便的方法.一般地,把的参数方程代入圆锥曲线C:F()=0后,可得一个关于t的一元二次方程,=0,1、(1)当Δ<0时,与C相离;(2)当Δ=0时,与C相切;(3)当Δ>0时,与C相交有两个交点;当Δ>0时,方程=0的两个根分别记为t1、t2,把t1、t2分别代入的参数方程即可求的与C的两个交点A和B的坐标.定点P0()是弦AB中点t1+t2=0被C截得的弦AB的长|AB|=|t1-t2|;P0A·P0B=t1·t2;弦AB中点M点对应的参数为