8分)设求得分五、(8分)求不定积分装订线内不得答题自觉遵守考试规则,诚信考试,绝不作弊得分六、(8分)利用定积分定义计算极限)得分七、(8分)求极限得分八、(8分)求定积分得分九、(8分)求极限装订线内不得答题自觉遵守考试规则,诚信考试,绝不作弊得分十、(5分)已知汽车行驶每小时的耗油费用为(元),它与行驶速度(公里/小时)的关系为.若汽车行驶时除耗油费用外的其它费用为每小时100元,问汽车最经济的行驶速度为多少?得分十一、(5分)如图:已知半径为的半球形水池充满了水,求当抽出水所做的功为将水全部抽出所做的功的一半时,水面下降的高度。得分十二、(4分)设函数在区间上可导,,且满足等式(1)求导数;(2)证明:当时,成立不等式.A卷北京科技大学2006—2007学年度第一学期高等数学试卷(A)题答案及评分标准(注:此答案及评分标准应于评阅试卷一同存档)参考答案一.填空题1.2..3.4.5.二.选择题6.A7.B8.C9.A10.B三.===0(2分)四、(5分)(3分)五解法1:;令(3分)(3分)=(2分)解法2:原式=(3分)(3分)(2分)六.I(3分)=(4分)=(1分)七.解:原式(3分)考虑极限(3分)原式(2分)八解:设原积分=,则设原积分=,则(5分)=5(3分)九.解:原式=十解:设汽车行驶了公里,则耗时小时.总费为,其中.(3分)此问题是求函数在区间上的最小值.根据,可得驻点.(1分)由实际问题考虑,此函数的最小值存在,且驻点是唯一的.则当行驶速度为公里/小时时总费用最省.(1分)十一.如图:(3分)当水面下降高度为h时,(1分)由上二式可以解得(1分)十二(1)解:由题设知上式两边对于求导得:。设,得到,解之得到。由及,得到,从而即。(2分)(2)证:当时,,即单调减少,又,所以。(1分)设,则当时,,即单调增加,因而,即有。综上所述得到当时(1分)
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