有唯一的根,这个根就是所求的唯一,故结论成立.(最值应用,转换变量)设函数.(1)讨论函数在定义域内的单调性;(2)当时,任意,恒成立,求实数的取值范围.解:⑴.当时,,增区间为,减区间为,.当时,,减区间为.当时,,增区间为,减区间为,.⑵由⑴知,当时,在上单调递减,∴,≤,即≤.∵恒成立,∴>,即,又,∴.∵,∴,∴≤.(最值应用)已知二次函数对都满足且,设函数(,).(Ⅰ)求的表达式;(Ⅱ)若,使成立,求实数的取值范围;(Ⅲ)设,,求证:对于,恒有.解:(Ⅰ)设,于是所以又,则.所以.…………3分(Ⅱ)当m>0时,由对数函数性质,f(x)的值域为R;…………4分当m=0时,对,恒成立;…………5分当m<0时,由,列表:x-0+减极小增所以若,恒成立,则实数m的取值范围是.故使成立,实数m的取值范围.…………9分(Ⅲ)因为对,所以在内单调递减.于是记,则所以函数在是单调增函数,所以,故命题成立.…………12分设是函数的一个极值点.(1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;(2)设,若存在,使得成立,求的取值范围.解:(1)∵∴由题意得:,即,∴且令得,∵是函数的一个极值点∴,即故与的关系式为.当时,,由得单增区间为:;由得单减区间为:和;当时,,由得单增区间为:;由得单减区间为:和;(2)由(1)知:当时,,在上单调递增,在上单调递减,,∴在上的值域为.易知在上是增函数,∴在上的值域为.由于,又∵要存在,使得成立,∴必须且只须解得:.所以,的取值范围为..?(1)若,求函数的极值;?(2)若是函数的一个极值点,试求出关于的关系式(用表示),并确定的单调区间;?(3)在(2)的条件下,设,函数.若存在使得成立,求的取值范围.解:(1)∵当时,,则.令得,∵,∴,解得∵当时,,当时,当时∴当时,函数有极大值,,当时,函数有极小值,.(2)由(1)知∵是函数的一个极值点∴
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