在缺少一个关键的条件,即,这样由两个三角形的两边长对应成比例,同时,夹角对应相等可得相似.当然,在考试时,只需大胆使用,也可利用平面几何知识进行证明.Р本题结论是关于三角形的欧拉定理,即设O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心,则O、G、H三点共线,且OG∶GH=1∶2,利用向量表示就是.Р例8、点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足,则点O是的( ).РA.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点РC.三条中线的交点 D.三条高的交点Р分析移项后不难得出,,点O是的垂心,选.Р3 推广应用题Р例9 在内求一点,使最小.Р分析如图2,构造向量解决.取为基向量,设,有.Р于是,.Р当时,最小,此时,即,则点为的重心.Р例10 已知为所在平面内一点,满足,则为的心.Р分析将,也类似展开代入,已知等式与例4的条件一样.也可移项后,分解因式合并化简,为垂心.Р例11 已知为的外心,求证:Р.Р分析构造坐标系证明.如图3,以为坐标原点,在轴的正半轴,在轴的上方.,直线的方程是,由于点与点必在直线的同侧,且,因此有,得Р.Р直线的方程是,由于点与点必在直线的同侧,且,因此有,得.Р于是,容易验证,,又,Р,,又,则所证成立.Р总结:知识综述Р(一)三角形各心的概念介绍Р1、重心——三角形的三条中线的交点;Р2、垂心——三角形的三条垂线的交点;Р3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心);Р4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)Р根据概念,可知各心的特征条件.比如:重心将中线长度分成2:1;垂线与对应边的向量积为0;角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心到三角形各顶点的距离相等.Р(二)三角形各心的向量表示РO是的重心;РO是的垂心;РO是的外心(或);РO是的内心;Р注意:向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)
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