与椭圆交于两点。Р(1)求椭圆方程;Р(2)若直线与轴交于,且,求的值;Р(3)设是椭圆的下顶点,分别为直线的斜率。证明:对任意,恒有。Р图5-2Р解:(1)易得椭圆方程为;Р(2)把平面上所有点横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到Р平面,如图5-2.于是椭圆还原成圆。Р取的中点,因为,所以平分弦,Р所以,又,Р设的斜率为,所以,所以,Р得,所以;Р(3),Р设圆与轴的交点为,连结,直线交轴于,直线交轴于Р,Р所以Р,此式显然成立。Р评注:把椭圆还原成圆后可利用圆中的直角把斜率进行转化,从而把斜率乘积化为三角形面积之比。Р三.在压缩变换下,平面上封闭图形的面积是原来平面对应封闭图形面积的倍,即.Р例6.(2013全国高中数学联赛山东省预赛)已知椭圆内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点,求该平行四边形面积的最大值.Р解:把平面上所有点横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得到平面,如图6.于是椭圆还原成圆,先求平面上相应平行四边形面积的最大值。Р图6Р显然面积等于4个三角形的面积,Р作边上的高,设Р(Р显然当时,取最大值,Р所以面积最大值为4,Р相应椭圆平行四边形面积最大值为6。Р评注:把椭圆还原成圆后并可得到以半径为腰的等腰三角形。Р例7.(2011全国高中数学联赛河南省预赛)以原点为圆心,分别以为直径作两个圆。点是大圆半径与小圆的交点,过点作垂足为,过点作,垂足为,记当半径绕点旋转时点的轨迹为曲线。Р(1)求曲线的方程;Р(2)设为曲线上三点,且满足,求△的面积。Р解:(1)易得曲线的方程为;Р(2)把平面上所有点横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得到平面,Р于是椭圆还原成圆,如图7.Р图7Р因为,所以△的重心是原点,Р相应的,△的重心是原点,Р由垂径定理得△是正三角形,Р所以△得面积为,Р所以△的面积为。Р评注:把椭圆还原成圆后便可发现以原点为重心的三角形就是圆内接正三角形。
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