,即,是的列向量组的极大无关组,且有,.Р(2) 构造矩阵,对作初等行变换,将其化为规范的阶梯形矩阵,即Р显然,,即,是的列向量组的极大无关组,且有.Р18.法1:已知,且不全为零,由定义Р线性相关.Р法2:由线性表出,且,则由定理3.5知线性相关.Р19.从向量组Р (1)Р中任取个向量,记为Р (2)Р在组(1)中删掉一个向量后,则其秩最多减1. 组(2)可作为组(1)删掉个向量后所得的向量组,因此组(2)的秩至少是.Р20.设的极大线性无关组分别为,含有的向量个数(秩)分别为,则分别与等价,易知均可由线性表示,则,,即.Р设与中的向量共同构成向量组,则均可由线性表示,即可由线性表示,从而可由线性表示,所以,为阶矩阵,所以,即.Р21.(1) 首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵,Р选为自由未知量,取,得基础解系Р于是原方程组的通解为,即Р,为任意常数.Р(2) 首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵,Р Р 为自由未知量.Р 分别取为.Р 得基础解系Р 所以原方程组的解为, 其中为任意常数.Р(3) 用初等行变换将化为规范阶梯矩阵,Р选为自由未知量.Р令,得特解Р分别取为,,得出对应的齐次线性方程组的基础解系Р,Р于是原方程组的通解为Р其中为任意常数.Р22.首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵,Р选为自由未知量,分别取,和,得基础解系Р,,Р所以四个解向量不能构成方程组的基础解系,必须去掉二、四列,取,,补充,构成基础解系.Р23.(1) 用初等行变换将化为规范阶梯矩阵,Р当时,,Р若,则,而,原方程组无解;Р若,则原方程组有唯一解;Р当时,,原方程组有无穷多组解,选为自由未知量.令,得特解Р分别取为,,得出对应的齐次线性方程组的基础解系Р,Р于是原方程组的通解为Р其中为任意常数.Р24.(2) 用初等行变换将化为规范阶梯矩阵,Р当时,,而,原方程组无解;Р当时,Р则原方程组有唯一解:
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