(2); Р 解Р . Р (3); Р 解Р . Р (4). Р 解Р Р =abcd+ab+cd+ad+1. Р 5. 证明:Р (1)=(a-b)3;Р 证明Р Р =(a-b)3 . Р (2);Р 证明Р Р Р Р Р Р . Р (3);Р 证明Р (c4-c3, c3-c2, c2-c1得)Р (c4-c3, c3-c2得)Р . Р (4)Р =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);Р 证明Р Р Р Р Р Р =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). Р (5)=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . Р 证明用数学归纳法证明. Р 当n=2时, , 命题成立. Р 假设对于(n-1)阶行列式命题成立, 即Р Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1, Р则Dn按第一列展开, 有Р Р =xD n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an .Р 因此, 对于n阶行列式命题成立. Р 6. 设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转, 依次得Р , , , Р证明, D3=D . Р 证明因为D=det(aij), 所以Р Р Р . Р 同理可证Р . Р . Р 7. 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式): Р (1), 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0; Р 解Р (按第n行展开) Р Р =an-an-2=an-2(a2-1). Р (2);Р 解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得Р , Р再将各列都加到第一列上, 得Р =[x+(n-1)a](x-a)n-1.Р (3);Р 解根据第6题结果, 有Р Р此行列式为范德蒙德行列式.
全文预览
