)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角,③计算——常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值.Р考点6 二面角Р例6.如图,已知直二面角,,,,AРBРCРQРPР,,直线和平面所成的角为.(I)证明Р(II)求二面角的大小.РAРBРCРQРPРOРHР过程指引:(I)在平面内过点作于点,连结.Р因为,,所以,Р又因为,所以.Р而,所以,,Р从而,又,Р所以平面.因为平面,故.Р(II)由(I)知,,又,,Р,所以.过点作于点,连结,由三垂线定理知,.故是二面角的平面角.Р由(I)知,,所以是和平面所成的角,则,Р不妨设,则,.Р在中,,所以,于是在中,.故二面角的大小为.Р小结:本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径:①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.Р考点7 利用空间向量求空间距离和角Р例7. 如图,已知是棱长为的正方体,Р点在上,点在上,且.Р(1)求证:四点共面; Р(2)若点在上,,点在上,,垂足为,求证:平面; Р(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求.Р过程指引:(1)如图,在上取点,使,连结,,则,.Р因为,,所以四边形,都为平行四边形.从而,.Р又因为,所以,故四边形是平行四边形,由此推知,从而.因此,四点共面.Р(2)如图,,又,所以,Р.Р因为,所以为平行四边形,从而.Р又平面,所以平面.Р(3)如图,连结.因为,,所以平面,得.于是是所求的二面角的平面角,即.Р因为,所以Р, .
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