指标,一是总产值Q(t),二是每个劳动力的产值z(t)=Q(t)/L(t),这个模型讨论K(t),L(t)满足什么条件才能使Q(t),z(t)保持增长.首先对资金和劳动力的增加假设:投资增长率与产值成正比,比例系数l>0,即表示用一定比例扩大再生产.劳动力的相对增长率为常数m,m可为负数,表示劳动力减少.这两个条件的数学表达式分别为(12)(13)(13)的解为(14)将(4):Q=zL,(5):z=cya代入(12)得(15)又由(3)可得K=Ly,与(13)一起得(16)由(15),(16)即得关于y(t)的方程(17)(17)的解:此为Bernoulli方程,两边同除以ya可化为,解得,令t=0得,注意由(3):K=yL,(15):,两式相除得,因此,最终得(18)下面根据(18)研究Q(t),z(t)保持增长的条件.1)Q(t)增长,即dQ/dt>0,由和(13):,(17):可得(19)将其中的y以(18)式代入,可知条件dQ/dt>0等价于(20)因为上式右端大于1,所以当m³0(即劳动力不减少)时(20)式恒成立;而当m<0时,(20)式成立的条件是(21)这说明如果劳动力减少,Q(t)只能在有限时间内保持增长.但应注意,若上式右端的,则不存在Q(t)的增长时段(因为这时右端小于0).2)z(t)增长,即dz/dt>0,由知这相当于dy/dt>0,由(17)式有,若m£0,此条件恒成立;而当m³0,由和(18)式得即,(22)显然此式等价于,即(23)此条件的含义是劳动力增长率小于初始投资增长率.评注Douglas生产函数是计量经济学中重要的数学模型,本节给出它的一个简洁的建模过程.在此基础上讨论的资金与劳动力的最佳分配,是一个静态模型.而利用微分方程研究的劳动生产率增长的条件,是一个动态模型,虽然它的推导过程稍繁,但其结果却相当简明,并且可以给出合理的解释.
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