案Р课程名称: 高等数学(A) 课程所在学院: 理学院Р一、填空题(每空2分,共20分)Р1. 设,则= .Р2. 0 .Р3. 已知函数在处连续,则 1/e . Р4. 当时,与是同阶(填同阶或等价)无穷小.Р5. 函数的带皮亚诺余项的n阶麦克劳林公式为Р.Р6. dР 7. 曲线拐点的横坐标为,则常数.Р8. 0 .Р9. 若,则.Р10. 方程的通解是.Р二、解答题(每题5分,共60分)Р1.求极限Р2. 已知,求常数.Р解: Р由可得,故Р3. 设,求及.Р解: Р=Р4. 设,求Р 解:把方程两边分别对求导,得(*)Р故Р由原方程可得,时,,将代入上式,即得Р5. 求极限Р 解.Р6. 设,其中在的某邻域内可导,且,求. Р解:Р7. 求不定积分解:Р8. 求不定积分Р解:Р9. 求定积分Р解:Р10. 求反常积分解:Р 11. 求曲线,使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标.Р解:切线方程为;当,Р由题意可得:;即Р通解是.Р 12. 求初值问题.Р解:由题意,特征方程为,特征根为,Р故对应齐次方程通解为;Р不是特征方程的根,故可设原方程有特解,Р解得,故原方程的通解为;Р由得本题解为.Р三、设在区间上连续,且,.Р证明:(1); (2)方程在区间内有且仅有一个根.(5分).Р证明:(1);Р (2);Р 又,所以,从而方程在区间内有一个根.Р 又,是单调递增的,从而方程在区间内仅有一个根.Р四、设在上连续,在内可导,且,证明在内存在一点,使(5分)Р证明:令,则在上连续,在内可导,且因,则Р即在上满足罗尔定理的条件,则至少存在使Р又,即,即Р五、设抛物线通过点,且当时,.试确定的值,使得该抛物线与直线所围图形的面积为4/9,且使该图形绕轴旋转而成的旋转体的体积最小. (10分)Р解:由于设抛物线通过点,故.Р且;即有;Р于是且令.Р得唯一驻点,进而. 所以,.
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