四点共圆的例证与应用

∠OAB=∠OBA? Р ∵MO垂直平分AB, ∴MA=MB? Р ∴∠MAB=∠MBA, ∠MAB-∠AED=∠MBA-∠OBA,? Р 即∠MAO=∠MBO=∠DEM,则A、E、M、O四点共圆。Р? Р 方法四:连四点成一个四边形,证其对角互补或一个外角等于它的内对角。? Р 例4.如图4,两圆相交于A及B,过A任引一直线交此两圆于C及D,在C、D引各该圆的切线交于E。证明:四点B、C、D、E共圆。???? Р 证明:连结BA、BC、BD,则有∠1=∠3,∠2=∠4? Р 而∠1+∠2+∠E=180°,∴∠3+∠4+∠E=180°? Р 即∠CBD+∠E=180°,∴B、C、D、E四点共圆。? Р 由于共圆点建立了几何元素的许多度量关系,所以解答几何命题常用到它,特别是四点共圆的作用尤为重要,它是一种重要的证题方法,某些几何命题的证明,若能巧妙地应用四点共圆,将会收到非常理想的效果,用四点共圆大体可以证明以下几种类型的命题:? Р 一、证明线段相等? Р 例5.如图5,已知RtΔABC中,∠C=90°,CD ⊥ AB正方形DNEG、DHFM分别内接于ΔADC和ΔCDB。求证:EC=CF???? Р 证明:;连结DE、DF,? Р 则∠EDF=45°+45°=90°,? Р 又∠C=90° ∴D、F、C、E四点共圆。? Р ∵∠EDC=∠FDC=45°,? Р ∴EC=CF? Р 二、证明角相等或不等? Р 例6.已知PA和PB与圆O相切于点A、B,AC为圆O中经过点A的直径,连PO、BC。求证:∠APB=2∠BAC。???? Р 证明:连结OB,则A、O、B、P四点共圆? Р ∴∠COB=∠APB,而∠COB和∠CAB同对弧CB ? Р 有∠COB=2∠BAC,∴∠APB=2∠BAC ? Р 例7.如图7,AB、CD是⊙O内交于点 C 的两条弦,CD>AB。求证:∠1