托勒密定理的逆定理及其证明定理:如果凸四边形ABCD满足AB×CD+BC×AD=AC×BD,那么A、B、C、D四点共圆.证法1(同一法):在凸四边形ABCD内取一点E,使得,,则∽.可得AB×CD=BE×AC———(1)且———(2)则由及(2)可得∽.于是有AD×BC=DE×AC———(3)由(1)+(3)可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE).据条件可得BD=BE+DE,则点E在线段BD上.则由,得,这说明A、B、C、D四点共圆.8.托勒密定理的推广及其证明定理:如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上,那么就有AB×CD+BC×AD>AC×BD证明:如图,在凸四边形ABCD内取一点E,使得,,则∽.可得AB×CD=BE×AC————(1)且————(2)则由及(2)可得∽.于是AD×BC=DE×AC————(3)由(1)+(3)可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)因为A、B、C、D四点不共圆,据托勒密定理的逆定理可知AB×CD+BC×ADAC×BD所以BE+DEBD,即得点E不在线段BD上,则据三角形的性质有BE+DE>BD.所以AB×CD+BC×AD>AC×BD.欧拉定理9.欧拉定理及其证明定理:设ΔABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示.则有G、O、H三点共线(欧拉线),且满足.证明(几何法):连接OH,AE,两线段相交于点G/;连BO并延长交圆O于点D;连接CD、AD、HC,设E为边BC的中点,连接OE和OC,如图.因为CD⊥BC,AH⊥BC,所以AH//CD.同理CH//DA.所以,AHCD为平行四边形.可得AH=CD.而CD=2OE,所以AH=2OE.因为AH//CD,CD//OE,所以AH//OE.可得AHG/∽EOG/.所以.由,及重心性质可知点G/就是ABC的重心,即G/与点G重合.所以,G、O、H三点共线,且满足.
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