微积分初步试题

做一个内接梯形,其一底为半圆的直径,其它三边为半圆的弦,问如何做才使梯形面积最大?梯形的最大面积是多少? 解: 如图建立平面坐标系,设 A(x,y) 是梯形在半圆上的内接点。因为 A 在圆上,所以有 2 2 2 ? ? x y R 又 y>0 所以 2 2 ? ? y R x 梯形的上底: 2x 梯形的下底: 2R 梯形的高: y 梯形的面积: 2 2 1 (2 2 ) ( ) (0 ) 2 ? ?????? S x R y x R R x x R …… 6分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 2 ( )( ) 2 ( )( 2 ) ? ?? ?????? ????? ??? S R x x R R x x R x x R R x x R R x R x 令0 ??S 得2 ? Rx ?? x R (舍去)……… 12分由于内接梯形最大值确实存在,故定义域内唯一驻点 2 ? Rx 就是最大值点。…… 14分此时梯形的高 2 2 ? ? y R x =32 R 梯形的最大面积 2 2 2 3 3 ( ) ( ) 2 2 4 ? ? ?? R R S R R R ……… 15分所以当上底为下底一半时梯形面积最大,梯形的最大面积是 2 3 3 4 R 。…16分学号姓名分校(工作站) 密封线内不要答题《微积分初步》试题第5页共5页学号姓名分校(工作站) 得分评卷人