x f x 来判断奇偶性. (2) 将不等式恒成立问题转化为求函数值域的问题,是解决恒成立问题的常用方法. 变式已知定义域为 R的函数 f(x)= 1 -22 xxba ???是奇函数. (1) 求实数 a,b的值; (2) 若对任意的 t∈R,不等式 f(t 2-2t) +f (2t 2 -k)<0恒成立,求实数 k的取值范围. 【解答】(1) 因为 f(x)是奇函数,所以 f (0) =0, 即-12 ba ??=0,解得 b= 1,从而有 f(x)= 1 -2 1 2 xxa ???. 又由 f (1) =-f (-1),知-2 1 4a ??=-1 - 1 21a ??, 解得 a= 2.经检验 a= 2符合题意,故 a= 2,b= 1. (2) 由(1) 知f(x)= 1 -2 1 2 2 xx???=-12 +1 2 1 x?. 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又f(x)是奇函数,从而不等式 f(t 2-2t) +f (2t 2 -k)<0, 等价于 f(t 2-2t) <-f (2t 2 -k) =f(-2t 2 +k ).因为 f(x)是减函数, 所以 t 2-2 t>- 2t 2 +k , 即对一切 t∈R有3t 2-2 t-k> 0, 从而Δ=4+12 k< 0,解得 k<-13 .因此所求 k的取值范围为 1,3 ? ????? ?? ?. 【精要点评】(1) 解决恒成立问题时常转化为求最值来解决. (2) 指数不等式的解法:对于不等式 a f(x) >a g(x)(a> 0且a≠1),可利用指数函数的单调性求解.当0 <a< 1 时,a f(x) >a g(x)? f(x) <g (x);当a> 1时,a f(x) >a g(x)? f(x) >g (x).
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