函数,通过计算逼近函数在某一点的值从而得到原函数在这一点的近似值,而求的方法就称为插值法。下面给出插值函数的一般定义:Р定义:已知(可能未知或表达式非常复杂)是定义在区间上的函数,在这个区间上有个彼此不相同的点,且对应的函数值为。寻找一个简单、便于计算的函数,使满足:Р通常称为插值区间,为被插值函数,为插值函数,为插值节点。其中当是多项式时,称为代数插值方法,即多项式插值。若设Р为误差函数或余项,则有.而且满足关系式: Р1.1 Lagrange插值法Р已知Lagrange插值是为次多项式插值,首先考察低次的插值多项式。当时,要构造出过两点与的多项式(次数不超过1次且),使得。则可以写成:Р Р它是两个线性函数Р的线性组合,所以称为线性插值多项式.Р当时,相应的构造出过三点的多项式(次数不超过2且),使得。则可写成:Р式被称为抛物线插值多项式。Р同理,当为插值节点时,有,则可写成:Р Р式被称为Lagrange插值多项式.Р在,,式子中,均为插值基函数,且满足: ,即得.Р误差估计由定理形式给出:Р定理1.1.1 设为区间上互不相同的节点,,且在内存在,满足的插值多项式,则对,使得Р.Р还可写成其截断误差:.其中,.РLagrange插值多项式的优点是表达式简单明确、便于推导、格式整齐规范;缺点是没有承上启下性和计算量大,即当需要增加、减少新的节点或节点位置变化时,就得从新计算所以的函数。Р1.2 Newton插值法Р在介绍Newton插值法之前,先来了解一下什么是差商?Р给定了函数在节点处的函数值。那么有形如:,称为函数关于节点处的一阶差商。同理给出在节点处的函数值。则被称为函数Р关于节点的阶差商。所以可得到差商表如下所示:Р表1 差商表Р一阶差商Р二阶差商Р三阶差商Р Р Р…Р…Р…Р…Р…Р由差商的定义可以得出:Р所以有: Р Р其中:Р。即是过n+1个插值点的n阶
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