毕业论文--对不定积分一题多解的分析

(方法 1)(所求积分包含 x ,其导数等于 x2 1 ,恰好可利用此特点对其进行凑微分) 原式???? xdxxdx x arctan arctan 21 arctan 2??????? Cx?? 2 arctan (方法 2)(分析:所求积分含有根式,因此我们可以考虑用根式代换求解) 原式???????????t tddtt t tdt tt ttx arctan arctan 21 arctan 221 arctan 22 2令???? CxCt???? 22 arctan arctan 例3求dxx xx?? 21 arctan 解方法 1原式?? 2221 arctan 11 arctan 2 1x xd xdx x????????? Cxx Inxxdxx xx dxx xxx????????????????????? 2 22 2 2 221 arctan 11 1 arctan 1 1 111 arctan (此解法采用了分部积分法,令xu arctan ?, 21x xv???) 方法 2令tx tan ? tdt dx 2 sec ??????????22 ??t 原式??????????? tdt ttt td tdt tt tdt t tt sec sec sec sec tan sec sec tan 2?? Cxx InxxCtt Intt??????????? 2211 arctan tan sec sec (此解法采用了三角代换进行求解。当积分表达式中含有 22xa?, 22ax?, 22ax?时, 可分别令 tax sin ?,tax tan ?,tax sec ?进行换元计算) 例4求dxxx x?? cos sin sin 解:方法 1(因为被积函数是三角有理式,所以我们很自然地想到用万能代换进行换元, 转化成有理函数的不定积分来做.)