°;(3)解:当时,△PFD∽△BFP,理由如下:设AD=AB=a,则AP=PB=,∴BF=BP?=.∴PD=,PF=,∴又∠DPF=∠PBF=90°,∴△PFD∽△BFP.解题思路:利用弦图基本模型可以解决前两问,(1)根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角,根据同角的余角相等,即可求证;(2)构造模型得△PAD≌△EQP,可以证得△BQE是等腰直角三角形,可以证得∠EBQ=45°,即可证得∠CBE=45°;(3)这两个三角形是直角三角形,若相似,则对应边的比相等,即可求得的值试题难度:三颗星知识点:相似三角形的判定与性质2.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P是底边BC上一点(不和B、C重合),连接AP,过P作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.(1)求证:△ABP∽△PCE;(2)求AB的长;(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3?为什么?答案:证明:(1)∵等腰梯形ABCD,∠APE=∠B∴∠B=∠C=∠APE=60°,∴∠BAP+∠BPA=120°∠CPE+∠BPA=120°∴∠BAP=∠CPE又∵∠B=∠C∴△ABP∽△PCE(2)延长BA,CD交于点F,∴△FBC是等边三角形∴FB=FC=BC=7cm,又∵AD∥BC,∴△FAD是等边三角形∴FA=FD=AD=3cm∴AB=FB-FA=7cm-3cm=4cm(3)设BP=x,则PC=7-x,∵CD=4,DE:EC=5:3,∴EC=4×==1.5,∵△ABP∽△PCE∴,即,解之得,x=1或6,即BP=1cm或6cm时,DE:EC=5:3.解题思路:(1)由弦图模型的变形,得△ABP∽△PCE;(2)延长BA,CD构造等边三角形,可得AB的长;(3)利用△ABP∽△PCE,对应边成比例,可求的BP的长.试题难度:三颗星知识点:相似三角形的判定与性质
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