波形之间的相似程度无关,也即与滤波器输出信号波形的失真程度无关,而只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比,即信噪比。信噪比越大,错误判决的概率就越小;反之,信噪比越小,错误判决概率就越大。当选择的滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时,该滤波器就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。设输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数为H(ω),滤波器输入信号与噪声的合成波为式中,s(t)为输入数字信号,其频谱函数为S(ω)。n(t)为高斯白噪声,其双边功率谱密度为。由于该滤波器是线性滤波器,满足线性叠加原理,因此滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成,即(8.1-2)式中输出信号的频谱函数为So(ω),其对应的时域信号为滤波器输出噪声的平均功率为在抽样时刻t0,线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为使输出信噪比ro达到最大的传输函数H(ω)就是我们所要求的最佳滤波器的传输函数。这是一个泛函求极值的问题,采用施瓦兹(Schwartz)不等式可以容易地解决该问题。施瓦兹不等式为X(ω)=KY*(ω)等式才能成立。K为任意常数令X(ω)=H(ω),Y(ω)=S(ω)ejωt0可得根据帕塞瓦尔定理有式中E为输入信号的能量。线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为根据施瓦兹不等式中等号成立的条件X(ω)=KY*(ω),可得不等式(8.1-10)中等号成立的条件为H(ω)=KS*(ω)e-jωt0式中,K为常数,通常可选择为K=1。S*(ω)是输入信号频谱函数S(ω)的复共轭。这就是我们所要求的最佳线性滤波器的传输函数,该滤波器在给定时刻t0能获得最大输出信噪比。这种滤波器的传输函数除相乘因子Ke-jωt0外,与信号频谱的复共轭相一致,所以称该滤波器为匹配滤波器。从匹配滤波器传输函数H(ω)所满足的条件,我们也可以得到匹配滤波器的单位冲激响应h(t):
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