0 世纪80 年代以后迅速成为主流金融经济学研究中标准的时髦。Р一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性(trend),就可以称之为鞅;?而如果它一直趋向上升,则称之为下鞅(submartingale);反之如果该过程总是在减少,则称之为上鞅(supermartingale)。?实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式,或者说是具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程。Р鞅定义Р1、存在一概率空间{Ω,F ,P},要求σ-代数F 是P-完备的,即对于任何A∈ F 且P(A) = 0,对一切N ⊂ A都有N ∈ F 成立。?2、给定一个滤波(filter)。?3、如果对于任何n ≥ 0, Sn 的值被包含在Fn 中,就称Sn 是Fn 可测的,或者使用梅耶(Meyer)的术语,称Sn为Fn 适应的( Fn –adapted)。Р4、存在条件数学期望Ep(SN)=Ep(SN|Fn),n<N?这意味着在n 时刻对N 时刻的价格预期是基于在该时刻已确知的特定信息集合Fn的。?注意在这里我们在期望算子上加的P 代表这种期望是基于特定概率测度(或者分布)的,在不混淆的情况下它也可以被省略。Р假定(Sn )n∈Z+ 是滤波空间{Ω,F ,P,F}上的一个Fn -适应过程,如果:?1)无条件的数学期望是有限的,E(Sn ) < ∞, n∈ Z?2)对下一时刻的预测就是现在观察到的数据,即:? En (Sn+1 | Fn ) = Sn ,n∈Z+?则称(Sn )n∈Z+ 为( F 下的)离散时间鞅或者简称离散鞅。Р模拟股票价格路径的二项树模型。现在假定n 时刻的股票价格为Sn,而在n +1时刻,股票价格将以:p = (1− d) /(u − d)的概率上涨到uSn ;或者以1− p的概率下降到dSn则下一时刻股票价格的数学期望?是鞅?Р遵循这种二项过程的股票价格运动是一个鞅
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