第六章鞅Р第一节基本概念Р第二节鞅停时定理Р第三节连续时间鞅Р第四节鞅表示定理Р第一节基本概念Р一、离散鞅的定义及性质Р(1)Р(2)Р离散鞅序列Р简称为鞅Р定义1 若随机序列对任意有Р注Р无后效性Р鞅的直观背景解释Р设想赌徒在从事赌博过程中,他在第n次的赌本为Р表示在已知前n次的赌本的条件下,第n+1次的平均赌本。Р而鞅Р则表示这种赌博使第n+1次的平均赌本仍为第n次的赌本,这种赌博称为公平赌博。Р定义2Р(1)Р(2)Р简称为鞅Р(3)Р例公平赌博?考虑一个赌博者正在进行的一系列赌博Р------赌博者在第n次赌博时赢Р------赌博者在第n次赌博时输Р------第n次赌注Р是初始赌资,则赌博者第n次赌博后的赌资为Р则Р即{Xn} 关于{Yn}是鞅。Р{Yn}独立同分布,且Р定理1Р充分性显然Р证Р必要性用归纳法来证Р由假设知Р(1)Р则有Р性质1Р常数序列为鞅。Р证Р性质2Р即Р证Р依次递推,可得Р定义3Р(1)Р(2)Р简称为上鞅Р(3)Р二、上、下鞅的定义及性质Р类似Р下鞅Р关于上、下鞅的的直观解释:Р上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本,即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博;Р下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本,即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。Р性质3Р为鞅的充分必要条件是, 既为上鞅也为下鞅。Р性质4Р上鞅Р下鞅Р下鞅Р上鞅Р性质5Р上鞅Р下鞅Р证明Р同定理1类似。用数学归纳法
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