§1.3 变分原理、里兹法Р§1.3.1 自然变分原理Р§1.3.2 修正泛函的变分原理Р如果微分方程具有线性、自伴随的性质,则:Р不仅可以建立它的等效积分形式,? 并可利用加权余量法求其近似解;Р还可建立与之相等效的变分原理,? 基于它的另一种近似求解方法——Ritz法。Р1. 线性、自伴随微分算子Р§1.3. 1 自然变分原理Р微分方程Рin Р为微分算子Р若Р具有性质:Р则称Р为线性微分算子。Р线性、自伴随微分方程的定义:Р§1.3. 1 自然变分原理Р对上式分部积分,直至u 的导数消失,得:Р边界项Р考虑积分Р任意函数Р为Р的伴随算子。Р称Р若Р则称算子是自伴随算子。Р§1.3. 1 自然变分原理Р2. 泛函的构造РGalerkin(伽辽金)格式Р因为算子是线性、自伴随的,所以:Р§1.3. 1 自然变分原理Р§1.3. 1 自然变分原理Р整理得到:Р§1.3. 1 自然变分原理Р微分方程的等效积分形式:Р某些问题的物理本质往往能够以变分原理的?形式直接叙述出来。Р例如,弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中?最小能量耗散原理,称为自然变分原理。Р3. 自然变分原理Р§1.3. 1 自然变分原理Р对这类问题:Р是未知场函数,Р为特定算子。Р包含及的1至m阶导数。Р连续介质问题的解: 使泛函取极值(或驻值)。Р存在泛函,它是一个标量Р即:Р(这种泛函我们称为单变量泛函,当然可以有多变量)Р§1.3. 1 自然变分原理Р例:最小位能原理Р体系总位能Р应变能Р外力势能Р§1.3. 1 自然变分原理
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