望值EYnР引理1Р(切比雪夫不等式)设随机变量 X 有数学期望EXР或Р及方差DX, 则Р证(只就连续型证明)设密度为 f (x), 则有Р(切比雪夫不等式)Р(切比雪夫不等式)Р为了证明切比雪夫定理,先证明切比雪夫不等式:Р例1Р设X~Р用切比雪夫不等式证明Р证Р所以Р从而Р定理1的证明Р如果把定理1中的Xi看成 n重伯努利试验中第 i 次试验Р时A发生的次数(即Xi 服从0-1分布)并记 P(A)=p, 则Р于是定理1可表现为如下的定理 2的形式Р,这就证明了定理1Р定理2Р(伯努利大数定律) 设nA是n重伯努利试验中AР发生的次数, p=P(A),Р或Р伯努利大数定律以严格的数学形式表明:当试验在不变的条件下重复进行很多次时, 事件的频率稳定于它的概率.因此, 在实际应用中可用频率代替概率. 这也为概率的公理化定义提供了理论支持.Р概率很小的事件在个别试验中几乎是不会发生的Р概率很大的事件在个别试验中几乎一定会发生Р(小概率事件的实际不可能原理)Р实际推断原理Р由伯努利大数定律可知,如果事件A的概率很小, 则事件A发生的频率也很小. 因此, 在实际问题中我们常采用Р如果概率很小的事件在一次试验中竟然发生了,那我们就有理由怀疑“概率很小”这一假定的正确性.Р当然,无论事件概率多么小, 总是可能发生的. 因此, 所谓小概率事件的实际不可能原理仅仅适用于个别的或次数极少的试验, 当试验次数较多时就不适用了.Р是概率论中用来阐明大量随机现象平均结果稳定性和事件频率稳定性的一系列定理, 条件较弱的还有Р大数定律Р定理3(辛钦大数定律)设随机变量序列{Xn}相互独立, 服从同一分布, 且 E( Xn )=, 则对任意的ε>0 , 有Р或Р辛钦大数定律以严格的数学形式表明:当n无限增大时, 独立同分布的随机变量的平均值依概率收敛于它的期望. 这为数理统计的矩估计奠定了理论基础.
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