e变换方法都与解能够叠加有关。顺其自然,人们把问题分成许多小问题,然后把分散的解加起来,得到整个问题的解。这就是线性的性质。Р与此相反,一个非线性方程的两个解(如果有解的话)不能线性相加在一起构成另一个解。线性叠加失效了,因此,人们必须整个地考虑非线性何题;不能,至少不能明显地把问题分成一些小的问题而把它们的解加起来。由此,求解典型的非线性方程不存在一般的解析方法。Р另外,非线性是引起突变的原因,对线性的细小偏离,往往不会引起突变,而非线性就可能引起突变。一个线性系统对它的参数的微小变化或外部激发的响应通常是光滑的,并且正比于激发,但对于非线性系统,参数的微小变化却可能产生运动中巨大的定性上的差别。而且,对外部激发的响应可以与激发本身不同;例如,周期地驱动的非线性系统可能表现出譬如1/2、l/4或2倍激发周期。Р在一个线性系统中,一个局部的“凸起”或脉冲通常将随时间的推移通过扩张而衰减。这种称为弥散的现象使线性系统中的波失去它自身的待性并消失,例如,小振幅的水波随着它远离原始扰动而消失。与此相反,非线性系统可能具有高度拟序的、稳定的局部结构(例如湍流中的涡),这些结构或者维持很长时间,或者在某些理想化的数的学模型中能永远维持。Р物理现象从本质上讲应是非线性的,而线性规律,仅是物质世界的近似描述。事实上,非线性问题与物理学相伴而生:? 物理学形成伊始,开普勒(KepLer)对天体轨迹的研究,就是对非线性问题探索之发端;? 18l3年法拉第(Faraday)通过振动水槽实验发现水中,有槽振动频率一半的分频,法拉第可算是观察分岔现象之始祖;? 1834年罗素(Russell)在爱丁堡—戈拉斯高运河上发现了孤立波;? 在此之后庞加莱(Poincare)在天体物理的研究中,瑞利(Rayleigh)在声和光的衍射研究中,雷诺(Reynolds)对流体湍流的研究中均发现了不少非线性问题。
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