第三节Р一、格林公式Р二、平面上曲线积分与路径无关的? 等价条件Р机动目录上页下页返回结束Р格林公式及其应用Р第十一章Р区域 D 分类Р单连通区域( 无“洞”区域)Р多连通区域( 有“洞”区域)Р域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左Р定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,Р则有Р( 格林公式)Р函数Р在 D 上具有连续一阶偏导数,Р或Р一、格林公式Р机动目录上页下页返回结束Р注:Р格林公式Р定理1 目录上页下页返回结束Р应注意曲线 L 是围成区域 D 的边界曲线,它可能由多Р条曲线所组成,取正向.Р对于格林公式,要求函数Р在曲线 LР围成的闭区域上,其一阶偏导数Р连续。Р这是应用此公式必须注意的!Р证明:Р1) 若D 既是 X - 型区域, 又是 Y - 型区域, 且Р则Р定理1 目录上页下页返回结束Р即Р同理可证Р①Р②Р①、②两式相加得:Р定理1 目录上页下页返回结束Р2) 若D不满足以上条件,Р则可通过加辅助线将其分割Р为有限个上述形式的区域, 如图Р证毕Р定理1 目录上页下页返回结束Р推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积Р格林公式Р例如, 椭圆Р所围面积Р定理1 目录上页下页返回结束Р例1.Р设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明Р证: 令Р则Р利用格林公式, 得Р机动目录上页下页返回结束Р例2. 计算Р其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,РB(0,1) 为顶点的三角形闭域.Р解: 令Р, 则Р利用格林公式, 有Р机动目录上页下页返回结束Р例3. 计算Р其中L为一无重点且不过原点Р的分段光滑正向闭曲线.Р解: 令Р设 L 所围区域为D,Р由格林公式知Р机动目录上页下页返回结束
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