第二节龙格—库塔法Р一泰勒级数法Р设有初值问题Р由泰勒展开式Р(1)Р若令Р(2)Р则Р即公式(2)为k 阶方法Р二龙格—库塔方法(R-K方法)РR-K方法不是通过求导数的方法构造近似公式, 而是通过计算不同点上的函数值, 并对这些函数值作线性组合,构造近似公式, 在把近似公式于解的泰勒展开式进行比较, 是前面的若干项相同, 从而使近似公式达到一定的阶数。Р对于欧拉法Р每步计算f 的值一次,其截断误差为Р每步计算f 的值两次,其截断误差为Р对于预估—校正法Р其中, , , , 为待定常数。Р(3)Р下面对预估校正法进行改进,将该公式写成更一般的形式Р选择这些常数的原则是在的前提下,使的阶尽量高。Р其中, , 都是在处的函数值。Р为此,作泰勒展开式Р将、代入得Р只要四个参数满足Р若,即的预估—校正公式.Р与泰勒展开式(2)进行比较,要使得Р(4)Р满足(4)式的可以由各种不同的法?但不管如何取法,都要计算两次f的值(即计算f在?两个不同点的函数值),截断误差都是。Р满足条件(4)的一族公式(3)统称为二阶龙格—库塔公式。Р如果每步计算三次f的值,可将公式写成下列形式:Р(5)Р与二阶龙格—库塔公式的讨论方法类似,要使Р只需8个参数满足Р方程组包含6个方程,8个未知量,其解不唯一。Р(6)
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