?为数域. ( 2) Q???( ) , , 1 Q i a bi a b Q i ? ? ???是数域. 类似可证 Gauss 数域( 2)( 2) ( 2)( 2) c d a b a b a b ? ??? ? 6 /9 例2.设 P是至少含两个数的数集,若 P中任意两个数的差与商(除数≠0)仍属于 P,则 P为一个数域。有证:由题设任取, , a b P ? 0 , a a P ? ?? 1 ( 0), b P b b ? ??(0 ) , a b a b P ? ????, a b P ? ?( 0), a P b b ? ?所以, P是一个数域. 0 , 1 a b ab P b ? ??时, 0 0 . b ab P ? ??时, 7 /9 二、数域的性质定理任意数域 P都包括有理数域 Q. 即,有理数域为最小数域. 证明: 设P为任意一个数域.由定义可知, 于是有 0 1 . P P ? ?, , 1 1 1 m Z m P ?? ? ?????? 8 /9 进而有, , , m m n Z P n ?? ??而任意一个有理数可表成两个整数的商, . Q P ? ? 0 . m m P n n ? ??? 9 /9 练习 1 {2 1| }, P n n Z ? ?? 2 { 2 | } ( 2). P n n Z Z ? ??判断数集 是否为数域?为什么? 1 2 , P P
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