犇( 狓) = 0 狓为[ 0 , 1 ] 中的无理数时 1 狓为[ 0 , 1 ] { 中的有理数时这种形式极为简单的函数按现有积分定义也不可积, 所以我们有足够的理由认为现有可积范围确实太狭窄. 如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢? 让我们先剖析一下造成这一缺陷的根本原因在何处, 只有先找准病根, 才能对症下药. 由数学分析知: 对任意分划犜: 犪= 狓 0 < 狓 1 < 狓 2 < …< 狓狀= 犫, 由于任意一个正长度区间内既有有理数又有无理数, 于是关于 D i r i c h l e t 函数犇( 狓) 在[ 0 , 1 ] 上的大小和之差恒有犛( 犜, 犇) - 狊( 犜, 犇) ≡ 1 - 0 ≡ 1 / → 0 从而不可积, 如果分划不是很呆板, 不需苛刻地要求一定要分成区间的话, 还是有可能满足大小和之差任意小的. 比如, 只要允许将函数值为 1 的有理数分在一起, 将函数值为 0 的无理数分在一起, 那么大小和之差就等于零了. 法国的著名数学家 L e b e s g u e 就抓住这个着眼点, 首先让分划概念更加广泛, 更加灵活, 从而允许将函数值接近的点分在一起, 以保证大小和之差任意小. 即犇: 犈= ∪狀犻= 1 犈[ 狔犻- 1 ≤犳< 狔犻] 其中犿≤犳< 犕, 犿= 狔 0 < 狔 1 < …< 狔狀= 犕时, 要犛( 犇, 犳) - 狊( 犇, 犳) = ∑狀犻= 1 [ 狔犻- 狔犻- 1 ] 犿犈[ 狔犻- 1 ≤犳< 狔犻] ≤ m a x 1 ≤犻≤狀[ 狔犻- 狔犻- 1 ] 犿犈< ε只需取 m a x 1 ≤犻≤狀[ 狔犻- 狔犻- 1 ] < ε犿犈+ 1 , 而狔犻- 狔犻- 1 正是新思维下可以人为控制的重要因素, 这里犿犈[ 狔犻- 1 ≤犳< 狔犻] 相当于集合犈[ 狔犻- 1 ≤犳< 狔犻] 的长度.
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