第三节开集,闭集,完备集Р第二章点集Р1. 开集、闭集РP0为 E的接触点:?P0为 E的聚点:?P0为 E的内点:Р说明:要证E是开集,只要证? 要证E是闭集,只要证Р若Eº = E , 则称E为开集(E中每个点都为内点)? 若,则称E为闭集(与E紧挨的点不跑到E外)Р例:开区间(a,b)为开集Р说明:要证E是开集,只要证РaРbРxР证明:任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|},? 则,Р从而x是(a,b)的内点,?故(a,b)是开集。Р例:闭区间[a,b]为闭集Р说明: 要证E是闭集,只要证Рa b xР证明:任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|},? 则,Р从而x不是[a,b]的接触点,Р从而[a,b]的接触点都在[a,b]内,?从而[a,b]是闭集。Р注:闭集为对极限运算封闭的点集Р即:A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点Р利用:?p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn}, 使得?或?p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn}, 使得Р若(或),则称E为闭集。? (与E接近的点不跑到E外)РEº为开集Р注: Eº为含于E内的最大开集РEР从而y为E的内点,从而?所以x为Eº的内点,即Р证明:只要证Р任取,由内点的定义知Р任取,取РE`为闭集РEР证明:只要证?任取,由聚点的定义知РE`为闭集Р注: 为包含E的最小闭集РEР从而?即x为E的聚点,从而Р2 开集与闭集的对偶性РP0为 E的接触点:?P0为 E的聚点:?P0为 E的内点:?P0为 E的外点:Рb.若E为开集,则Ec为闭集;? 若E为闭集,则Ec为开集。Рa.Р开集的余集是闭集Р从而x不是Ec的接触点,? 也即Ec的接触点一定在Ec内,? 从而,即Ec为闭集。Р证明:设E为开集,即Р从而
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