知可测,即在E上可测。Р若,则,即在E上可测。Р②对于,,其中是全体有理数,从而可知是E上的可测函数。Р③首先,在E上可测,对于,Р,其中由上②知在E上可测。Р即在E上可测。Р若是E上的可测函数列,则下列函数Р①; ②; ③; ④都是E上可测函数Р若是E上的可测函数列,且有,则是E上的可测函数。РLebesgue积分Р5.1 Lebesgue积分的定义РDef 4:设是上的非负可测函数,我们定义是E上的勒贝格积分Р这里的积分可以是,若,则称在E上Lebesgue可积的。设Р是上的可测函数,若积分,至少有一个是有极限值,则称为E上可积函数的全体记作。Р5.2 Lebesgue积分与Riemann积分的关系РTh1:设是定义在有界闭区间[a,b]上的有界函数,则在[a,b]上是Riemann可积的充要条件是在[a,b]上的不连续点集是零测集。РTh2:若在有界闭区间[a,b]上是Riemann可积的,则在[a,b]上也是Lebesgue可积的,其积分值相同。Р6.小结РLebesgue外测度是对中一般的点集E给出的一种度量,是长度、面积和体积等概念的推广,是Lebesgue积分的基石,它成功的解决了Riemann积分只适用于连续函数的的最大缺限,所以对其性质和计算的研究是非常重要的,本论文主要论述了它的一些性质和相关的证明。首先,给出了Lebesgue外测度的定义;接着着重指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质;然后给出了测度的定义与性质;最后延伸介绍了可测数函数与Lebesgue积分。Р7.参考文献Р[1] 胡适耕.实变函数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2014.Р[2] 周民强.实变函数论(第二版)[M].北京:北京大学出版社,2008. Р[3] 周民强.实变函数解题指南[M].北京:北京大学出版社,2007.
全文预览
