数,并指出使p(˜x)=0的x˜全体.证明:p(˜x)的非负性是明显的.对于齐次性,有11p(αx˜)=inf∥y∥=inf∥αx+x0∥=inf∥α(x+x0)∥=|α|inf∥x+x0∥=|α|p(˜x).y∈αx˜x0∈Ex0∈Eαx0∈Eα而对于三角不等式,由inf的定义,存在x0∈x,˜y0∈y˜使得∥x0∥<p(˜x)+ϵ,∥y0∥<p(˜y)+ϵ,那么p(˜x+y˜)=inf∥x+y+z∥≤∥x0+y0∥≤∥x0∥+∥y0∥<p(˜x)+p(˜y)+2ϵ.z∈E由ϵ的任意性,即得p(˜x+y˜)≤p(˜x)+p(˜y).倘若p(˜x)=0,则存在一组{xn}∈E,使得1∥x−x∥≤.nn这说明x按范数是点列{xn}的极限点.反过来,如果x可以表示成为E中一点列的极限.那么必然有1p(˜x)=inf∥x+x0∥≤∥x−xn∥≤.x0∈En因此可知使p(˜x)=0的x˜全体为E¯.□习题4.4.14.设g1,g2,...,gn是赋范线性空间R上n个线性无关的元素,x∈R如果存在λ1,...,λn使得∑n∑nx−λigi=infx−µigi,µ1,...,µni=1i=1∑n{}其中µ1,...,µn是任意n个数.称向量x0=i=1λigi为x在子空间spang1,...,gn上的最佳逼近.证明:在R是严格赋范时,对于x的最佳赋范是唯一的.证明{(1)}{(2)}:假设结论不真,则至少存在两组不完全相同的λi,λi满足∑n∑n∑n−(1)−−(2)xλigi=infxµigi=xλigi.µ1,...,µni=1i=1i=11(1)(2)那么,考虑两者的平均值2(λi+λi),有∑n11∑n1∑n∑n∥−(1)(2)∥≤∥−(1)∥∥−(2)∥−x(λi+λi)gi(xλigi)+(xλigi)=infxµigi.222µ1,...,µni=1i=1i=1i=110
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