第四章变形梯度与应变(徐春晖、李明瑞)

m ≠ 0 ( 4.53a ) )ln(UE = m ; m = 0 ( 4.53b ) 还可以得到广义 Euler 应变定义 m m Ve ( = - 1)/m; m ≠ 0 ( 4.54a ) )ln(Ve = m ; m = 0 ( 4.54b ) 所有以上定义的各种应变度量,都是纯变形张量 U ( V)的函数,都能把刚体的平动与转动自动除去,并且在变形值趋向于零时,自动退化成线性应变的定义, 所以都是合理的应变度量。在第二章的 3 0中我们在讨论应变概念时,曾给出一个杆做 180 0 刚体转动的例子(见图 2.2 ) ,得出结论说小变形理论中的应变定义, ? u / ? x =2 (对当前位形的坐标取导)或是? u / ? X=-2 (对初始位形的坐标取导)都不是合理的应变度量,都没有将刚体转动扣除。对于本例来说,按照 Green-Lagrange 应变定义, Exx = ? u / ? X + 1 2 ( ? u / ? X ) 2 = -2 + 1 2(2) 2 = 0 。按照 Almansi 应变定义: e xx = ? u / ? x - 1 2 ( ? u / ? x ) 2 = 2 - 1 2 (2) 2 = 0 。这样的结果是我们意料之中的。如果直接求出刚体转动的 U , 或 V 得到 U = V = 1 ,因此广义 Lagrange 应变与广义 Euler 应变均为 0 。