y || )TT || || (|| x || || y || ,...,|| x || || y || ) ||Р 1m 1 1 m m Р || (||x || ,...,|| x || )TT || || (|| y || ,...,|| y || ) || || x|| || y ||Р 11mmР如此,范数定义中条件(3) 满足. Р综上所述,||.||为向量范数. Р nР3.若||.||为C 的向量范数,且 n 阶矩阵 A 非奇异,则由下列定义的实值函数||.||A :Р n nР||x ||A || Ax || , xC是C 上的向量范数. Р证明:以下验证||.||A 满足范数定义的四个条件Р。 n nР1 任取 xC,由于||.||为C 的向量范数,因此||x ||A || Ax || 0 ,并且只当 Ax 0, Р由于 A 非奇异,即只当 x 0 时,才有||x ||A || Ax || 0 .这样,条件(1)和(4)满足. Р2。任取 xCn 和 C ,由于||.||为C n 的向量范数,因此Р ||x ||AA || A ( x ) || || ( Ax ) || | ||| Ax || | ||| x || .这样,条件(2)满足. Р3。任取 x, y C n ,由于||.||为C n 的向量范数,因此Р ||x y ||A || A ( x y ) || || Ax Ay || || Ax || || Ay || || x || A || y || A . Р这样,条件(3)满足. Р综上所述,||.||A 为向量范数. Р *Р4 .设 f1 和 f2 为有限维线性空间上两个函数,{b12 , b ,..., bn }为的基,试证:若 f1Р和 f2 为Р(1)正的: fii( x ) 0, x , f ( x ) 0 x 0 ; Р 10
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