北京理工大学出版社矩阵分析习题解答

反Hermite矩阵。Р证:令,且 A=S+iT,。Р 下证唯一性:用反证法。Р假设存在使,且均为Hermite矩阵。则由:РA=S1+iT1Р同理有:S1=S2,T1=T2 可知:A可唯一的写成A=S+iT。Р令B=S,C=iT,则显然B为Hermite矩阵,C为反Hermite矩阵Р则A可唯一写成A=B+C,其中証毕。Р补充题:Р#3*1 试证:向量长度的齐次性,即,,。Р解:令,则Р#3*2 试证:在任意酉空间V中成立广义商高定理:Р证明:,Р Р#3*3令。求的一个标准正交基。Р解:由斯密特正交化公式可得:Р, ,Р单位化:,,Р就是的一个标准正交基。Р#3*4试证下列矩阵是酉矩阵Р(1) (2)Р证明:(1)令,Р 经计算,显然有,即证该矩阵是酉矩阵。Р(2)令B=,Р 经计算,显然有即证该矩阵是酉矩阵。Р#3*5用数学归纳法证明下列结论:Р(1)对于任意正整数n成立;Р(2)对于任意正整数k成立&(,)=0,Р。Р证明:(i)当k==1时,左边==右边=1。结论成立;Р 假设n=k时(k为任意的整数)等式成立,即:Р 当时,左边=Р ==右边Р 所以,当时,结论也成立。命题得证。Р(ii)当时,,等式成立;Р假设当时(),等式成立。即:Р当时,令则:Р Р Р因为:(,)=0, Р所以:Р Р同理得: Р所以:Р由此看出:当时,结论也成立。Р 综上所述:命题成立,结论得证。Р Р#3*6 试证: 为正规矩阵。试问:是否为Hermite矩阵,反Hermite矩阵或酉矩阵?为什么?Р证明:因为,Р则,所以为正规矩阵。Р显然,Р所以既不是Hermite矩阵也不是反Hermite矩阵。Р又,所以也不是酉矩阵。Р#3*7试征:对正定矩阵A存在正定矩阵S使得,其中为任意正整数。Р证明:因为A是正定矩阵,故有,(其中都是正数)Р令因为皆为正数所以也为正数故S是正定矩阵Р即证。