n与θn代表 t=nτ-0+时pθ和θ的值,积分(1.1.1)式可得Рpn+1-pn=(nτ)-n+1τ-pθdt =(nτ)-n+1τ-ksinθδt-nτdt=ksinθnθn+1-θn=(nτ)-n+1τ-θdt=(nτ)-n+1τ-pn+1Idt=pn+1τIР令I=1,τ=1,可得Рpn+1=pn+ksinθnθn+1=θn+pn+1 Р做变换pn→2πpn,θn→2πxn,可得标准映射的一般形式:Рpn+1xn+1=Tkpnxn=pn+k2πsin(2πxn)xn+pn+1Р其雅可比行列式的值为Рdetǝpn+1ǝpnǝpn+1ǝθnθn+1pnǝθn+1ǝθn=det1 kcos(2πxn)1 1+kcos(2πxn)=1Р故此映射在(p,θ)相平面上宝面积。Р当k=0时,Рpn+1xn+1=T0pnxn=pnxn+pn+1Р我们有pn=p0为常数。如果p0=N/M, 则轨道为周期M的周期轨道,即xM=x0+N=x0。如果p0为无理数,x0就永不重复,其旋转数为ω(p0)=p0。当k≠0时,旋转数可定义为Рω(p0)=limn→∞xn-x0nР并可用来刻画周期及KAM轨道。周期轨道具有有理的旋转数,而KAM轨道则具有无理的旋转数。最无理的称为黄金数,其值为ω(p0)=(1+5)2,其倒数为ωIG=(1+5)2≈0.618034为通常所说的黄金分割数。Р2.2 不稳定的轨道和确定性混沌Р任何轨道动力系统微分方程定义dxdt=F(x),或者说离散映射xn+1=F(x)由初始坐标x0唯一决定。混沌是不可预知的随机运动联系在一起的,因此确定的动力系统的轨道不能乱。但往往非线性系统有不稳定的轨道。在这种情况下,δxk近似的呈指数级分布增加。这种不稳定可能会检测到正 Lyapunov指数。РΛ=limn→∞Ln,Ln=1nlogδxnδx0。Р看图1这个混沌轨道的二次地图
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