一维谐振子在时处在归一化波函数为:所描写的态中,式中,其中是一维线性谐振子的能量本征函数,试求:(1)的数值;(2)在态中测量能量的可能值,相应的概率及能量平均值;(3)时系统的波函数;(4)时测量能量可得的可能值、相应的概率及平均值。解:(1)因为,且已归一化,所以,即得:,解得:(2)一维线性谐振子的能量本征值为:因此可得在态中测量能量的可能值相应的概率分别为:,,,相应的能量平均值:(3)时,因为,所以:(4)同(2)。20.设一个定域电子(即不考虑电子的轨道运动),在外磁场中的哈密顿算符可以表示为:,这里和是大于零的常数,和分别是电子自旋算符的x分量和z分量,假设比小得多,试用定态微扰理论求电子的能级至二级修正。{提示:选择表象}。解:在表象下,,,因此体系的哈密顿量为因为比小得多,因此可以将看做微扰,且有:,在不受微扰作用时,体系有两个非简并能级,分别为:和根据非简并定态微扰理论,电子的能级至二级修正为:,(n=1,2)21.试简述量子力学的五个基本假设(原理)。22.设一个二能级粒子的哈密顿量在能量表象中的矩阵为:,a,b为小实数。(1)用非简并定态微扰理论公式求系统能量至二级近似;(2)直接用求能量本征方程的方法求能量的准确值,并与微扰论的结果相比较;解:(1)根据,a,b为小实数,可取:、微扰矩阵为,且有,根据微扰理论,至二级近似的能量公式为:,(n=1,2),体系的能级至二级修正为:(2)设能量本征值为E,本征失为,则体系的本征方程为:,即:,,有非零解的条件是:,解得两个本征值为:,。当时,利用等价无穷小代换,我们可得:;同理当时,我们可得:。可见微扰论结果是条件下准确解的近似。23.求及的本征值和所属的本征函数。解:的久期方程为∴的本征值为。设对应于本征值的本征函数为由本征方程,得由归一化条件,得即∴对应于本征值的本征函数为同理对应于本征值的本征函数为