量为的无相互作用的全同费米子同处线性谐振子场中,写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数,指出简并度。Р42. 一维无限深的、宽为1的势阱中含有三个电子,势Р 。Р在温度,并忽略库仑相互作用近似下,三个电子的平均能量。问在同样近似下,在阱中若有四个电子时,其平均能量是多少?Р43. 两个质量为、自旋1/2的全同费米子处在一维无限深势阱中,阱宽为,粒子间相互作用势可作为微扰。试用单粒子态和自旋态组出三个最低能态,用一阶微扰论计算第二、第三个最低能态的能量,忽略自旋相关力,积分不必求出。Р44. 宽为的一维盒子内有两个质量均为的无自旋的粒子,其相互作用势为Р ,Р计算基态能量,精确到的一次项。Р 45. 设粒子在一维无限深方势阱Р Р中运动,处于基态。时刻阱宽突然变为,粒子波函数来不及改变,即Р 。Р试问:对于加宽了的无限深方势阱Р ,Р测得粒子处于能量仍保持为的新的本征态下的概率为多大?Р46. 一维势阱具有下列单粒子能量本征态:Р;对应能级Р两个无相互作用的粒子置于该势阱中。对下列不同情况写出:两粒子体系可具有的两个最低总能量值及相应的简并度;与上述能级对应的所有二粒子波函数。Р(1)两个自旋为1/2的可区分粒子;Р(2)两个自旋为1/2的全同粒子; Р(3)两个自旋为0的全同粒子。Р47. 一维谐振子,哈密顿。采用自然单位:,则。基本对易式可表成Р , (1)Р令(2)Р证明(1) ; (3)Р(2)。(4)Р其中Р为声子数算符。Р48. 用数学归纳法证明:。Р49. 已知为声子数算符,其归一化本征态为Р ,Р利用,证明:Р 。Р50. 设有两类谐振子,相应的声子产生和湮没算符用; 表示,它们满足Р 。Р定义算符Р Р Р Р证明:Р Р51. 设哈米顿算符,其中是正实数,是正参数,和为玻色型产生算符和消灭算符,用微扰论求的基态本征值(准至级)和相应的本征态(准至级)。
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