t≠﹣1).即f(x)=.(2)∵(x≠﹣1).令f′(x)=0,解得x=1.在区间上f′(x)<0,函数f(x)单调递减;在区间(1,3]上f′(x)>0,函数f(x)单调递增.f(x)min=f(1)=2,而=,f(3)=,∴.∴函数f(x)的值域.点评:本题考查了换元法、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本方法,属于基础题.19.(15分)已知二次函数f(x)=x2﹣mx+m﹣1(m∈R).(1)函数在区间[﹣1,1]上的最小值记为g(m),求g(m)的解析式;(2)求(1)中g(m)的最大值;(3)若函数y=|f(x)|在[2,4]上是单调增函数,求实数m的取值范围.考点:函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明.专题:函数的性质及应用.分析:(1)利用对称轴和区间[﹣1,1]的关系进行分类讨论,求出函数的最小值g(m).(2)利用g(m)的表达式求函数g(m)的最大值.(3)利用条件y=|f(x)|在[2,4]上是单调增函数,确定实数m的取值范围.解答:解:(1)f(x)=x2﹣mx+m﹣1=,对称轴为x=.①若,此时函数f(x)在区间[﹣1,1]上单调递增,所以最小值g(m)=f(﹣1)=2m.②若,此时当x=时,函数f(x)最小,最小值g(m)=f()=.③若,此时函数f(x)在区间[﹣1,1]上单调递减,所以最小值g(m)=f(1)=0.综上g(m)=.(2)由(1)知g(m)=.当m<﹣2时,g(m)=2m<﹣4,当﹣2≤m≤2,g(m)==≤﹣2当m≥2时,g(m)=0.综上g(m)的最大值为0.(3)要使函数y=|f(x)|在[2,4]上是单调增函数,则f(x)在[2,4]上单调递增且恒非负,或单调递减且恒非正,∴,所以或,解得m≤3或m≥8.点评:本题主要考查了二次函数的图象和性质,综合性较强,要求熟练掌握二次函数性质和应用.
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