osB-b=2a.(1)求角C的大小;(2)设角A的平分线交BC于D,且AD=,若b=,求△ABC的面积.解:(1)由已知及余弦定理得2c×=2a+b,整理得a2+b2-c2=-ab,所以cosC===-,又0<C<π,所以C=,即角C的大小为.(2)由(1)知C=,依题意画出图形.在△ADC中,AC=b=,AD=,由正弦定理得sin∠CDA==×=,又△ADC中,C=,所以∠CDA=,故∠CAD=π--=.因为AD是角∠CAB的平分线,所以∠CAB=,所以△ABC为等腰三角形,且BC=AC=.所以△ABC的面积S=BC·AC·sin=×××=.21.已知圆C经过A(3,2)、B(1,6)两点,且圆心在直线y=2x上.(1)求圆C的方程;(2)若直线l经过点P(-1,3)且与圆C相切,求直线l的方程.解:(1)方法1:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),依题意得,解得a=2,b=4,r2=5.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=5.方法2:因为A(3,2)、B(1,6),所以线段AB中点D的坐标为(2,4),直线AB的斜率kAB==-2,因此直线AB的垂直平分线l'的方程是y-4=(x-2),即x-2y+6=0.圆心C的坐标是方程组的解.解此方程组,得即圆心C的坐标为(2,4).圆C的半径长r=|AC|==.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=5.(2)由于直线l经过点P(-1,3),当直线l的斜率不存在时,x=-1与圆C:(x-2)2+(y-4)2=5相离,不合题意.当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y-3=k(x+1),即kx-y+k+3=0.因为直线l与圆C相切,且圆C的圆心为(2,4),半径为,所以有=.解得k=2或k=-.所以直线l的方程为y-3=2(x+1)或y-3=-(x+1),即2x-y+5=0或x+2y-5=0.
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