4.19.二次型的矩阵A=20.若矩阵A与B=相似,则A的特征值为1,2,3三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)21.求行列式的值解:==xy=xy=x²y²22.解矩阵方程:.解:令A=,B=因为(AE)=→→,所以A=由AX=B,得X=AB==23.求向量组=(1,1,2,3),=(-1,-1,1,1),=(1,3,3,5),=(4,-2,5,6)的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.解:将已知向量按列构成矩阵,并对其进行行变换:()=→→→→所以,r()=3,极大无关组为,,;=7-324.a取何值时,方程组有解?并求其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).解:对方程组的增广矩阵施以初等变换:=→→若方程有解,则r()=r(A),故a=5当a=5时,继续施以初等行变换得:→,原方程组的同解方程组为:,x,x为自由未知量,令x=x=0得原方程组的一个特解:与导出组同解的方程组为:x,x为自由未知量,令分别取,,得到导出组的基础解系:,,所以,方程组的全部解为v=+c+c,其中c,c为任意常数。25.已知,求A的特征值及特征向量,并判断A能否对角化,若能,求可逆矩阵P,使P–1AP=Λ(对角形矩阵).解:矩阵A的特征多项式为:==所以,A的特征值为:对于:,求齐次线性方程组的基础解系,,得基础解系:从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为:不全为零。对于,求齐次线性性方程组(E-A)x=O的基础解系,,得基础解系:,从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为:因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量,,,所以,A相似于对角矩阵,且26.用配方法将下列二次型化为标准形:解:====令,即得二次型的标准型为:.四、证明题(本大题共6分)27.设向量,证明向量组是R3空间中的一个基.证:因为,所以线性无关,所以向量组是空间的一个基。
全文预览