二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式。下面讨论用配方法化二次型为标准型的方法。使用配方法化二次型为标准形时,视具体情况又可以将二次型分为下面两种不同的情形:当此二次型中含有平方项时,先将非平方项找出来,然后配方,剩余项再次配方,一直到所以项均为平方项,最后利用非退化线性替换将二次型化为标准型。如果所给二次型中不含有平方项,但是,我们就可以用前面所提到的方法构造出平方项,可以先做出可逆的线性变换代入到原二次型中,这时二次型中就含有平方项了,然后再按照上述中的方法进行配方。例2用上述所给出的方法化二次型为标准形,写出所用的变换矩阵。解:因为此二次型中含有平方项,因此用第一种办法。此过程为:于是作非退化的线性替换:即于是就得到所用的变换矩阵为且有3.3.初等变换法将二次型一般型式化为标准型的问题实质是一个通过有限多个可逆的线性替换将二次型中的所有元逐渐配方的问题。将这个过程通过矩阵形式表示,就是第三中方法:初等变化法。这种方法将二次型的矩阵通过有限次初等行、列变换,将二次型化为与其合同的对角矩阵。定理3在数域上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵。定理4对每个实对称矩阵,存在初等矩阵使得根据初等矩阵的有关性质知,用初等矩阵左乘相当于对作一次初等行变换;用初等矩阵右乘相当于对作一次初等列变换,再结合定理3知,对初等矩阵施行一个初等行变换,同时要对矩阵作一次相应的列变换,以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵相合。下面我们讨论用初等变换法将二次型化为标准型的步骤写出二次型的矩阵,让与构造矩阵对进行初等行变换和相同的初等列变换,化成与合同形式上简单的矩阵,直至将化成对角矩阵;但是对只进行其中的列变换。写出过程中所进行的一系列可逆线性变换化原二次型为为理解方便,此过程可用图表示如下例4:用初等变换法化为标准型,并写出其非退化线性变换。解:由题可知二次型的矩阵为所以可得:
全文预览
