吸引力和排斥力产生的效应。这种简化便于把分析数学的方法运用于物理学。计算题(共4题,每题20分,共80分)(1)给定矢量,,求,(2)一个半径为a的球体均匀分布着体电荷密度()的电荷,球体内外介电常数均为,求球体内外的电场强度及电位分布。解:采用球坐标系分析本题(只涉及了一个变量半径r,并未涉及其他角度变量)。在r<a的区域,高斯面是一个与这个球体相同球心,以r为半径的球面,所包围的电荷是因此,(表示方向沿径向向外,下面省略了中间过程,)所以(),在r>a的区域,高斯面是一个与这个球体相同球心,以r为半径的球面,所包围的电荷是,()求解电势:由于电荷分布在有限区域,可选无穷远点为参考点。则在r<a时在r>a时(1)给定矢量,,求,(2)单匝矩形线圈置于时变场中,如图所示。初始时刻,线圈平面的法向单位矢量与y轴成角。求:线圈静止时的感应电动势;线圈以速度绕x轴旋转时的感应电动势。答:线圈静止时,穿过线圈的磁通为由式(2.59),故感应电动势为线圈以角速度绕x轴旋转时,法向单位矢量的方向随时间变化。在时刻,与y轴的夹角,所以故感应电动势为(1)给定矢量,,求,(2)一个半径为的导体球的电位为,设无穷远处为零电位。求球内、外的电位分布。解:导体球是等位体,所以球内各点的电位均为U。球外的电位满足拉普拉斯方程∇2∅=1r2ddrr2d∅dr=0两次积分,通解为∅=-Ar+B根据边界条件求常数,边界条件如下。r=a时∅=U.(2)r=∞时,∅=0由上述边界条件,确定常数为:A=-aU,B=0,代入通解得∅=aUr10、半径为a的无限长直导线通有电流I,试计算导体内外的磁场强度。解:在ρ≤a的圆柱内ιH∙dι=H∙2πρ=Iπa2∙πρ2=Iρa2H=eφIρ2πa2在ρ>a的圆柱外H=eφI2πρ(1)给定矢量,,求,(2)半径为a的无限长直导线通有电流I,试计算导体内外的磁场强度。
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